但教師教學用書p81指出在驗證向量加法滿足結合律時，也可能有學生用平行四邊形法則，并提供了一個驗證思路（見圖2），筆者以為思路可行，但所配圖形不當。事實上按照圖2的驗證思路，應該先說明, ,然后還要說明與兩點重合（見圖3），這是至關重要的一步，否則有循環論證的嫌疑（驗證前已承認向量加法滿足結合律）。

圖24．教材p83例2第2問中的答“船實際航行速度的大小約為km/h,方向與水的流速間的夾角約為”。語句似有不妥，最好改為“船實際航行速度的大小約為km/h,實際航行速度的方向與水的流速的方向間的夾角約為”。

5．教材p95第二段：“類似地，由平面向量的基本定理，對平面上的任意向量，均可以分解為不共線的兩個向量和，使”，為了與前一節的平面向量基本定理的表述保持一致并方便學生理解，建議將畫線部分文字改為：“均可以分解為不共線的兩個向量和，使”。

6．教材p97例5解法2：“如圖2.3-12，由向量加法的平行四邊形法則可知”，為保持教材的簡潔明了，建議將畫線部分改為“”。

7．教材p98第2.3.4平面向量共線的坐標表示這一節第一段有“設，其中。

我們知道，當且僅當存在實數時，才知道?！睘榱伺cp89的向量共線定理保持形式上的一致，并方便學生理解，建議將此段文字改為“設，其中。我們知道，當且僅當存在實數時，才知道。

”8．針對教材p99例8的解答過程，我們還有以下比較簡潔的解法，現對（1）小題作如下解答：設點p的坐標為，因為p是線段的中點，所以，即，所以解得，所以點p的坐標為。（注：

（2）和p100的**同理可得）

9．關于教材p110例2，筆者認為：如果編者想通過此例來說明用向量知識解決平面幾何問題的思維轉化過程和實際的操作步驟，那完全可行。但如果想通過此例來說明用向量解題的簡潔和優越則適得其反，因為此題用平面幾何知識來解決會更簡單和快捷（解法在此不再贅述），所以建議用一個更好的例子來替換它。

參考文獻

數學（四）高中課程標準實驗教材必修a版

2 普通高中課程標準實驗教科書數學（4）必修 a版（教師教學用書） 人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心編著（2007年4月第2版）

****：（**）0574-22681819（手機）131********；e-mail：hty_

地址：浙江省余姚市第八中學，315430。

〖五〗向量函數思想總結

【內容解讀】向量的坐標表示實際上就是向量的`代數表示.在引入向量的坐標表示后，使向量之間的運算代數化，這樣就可以將“形”和“數”緊密地結合在一起.因此，許多平面幾何問題中較難解決的問題，都可以轉化為大家熟悉的代數運算的論證.也就是把平面幾何圖形放到適當的坐標系中，賦予幾何圖形有關點與平面向量具體的坐標，這樣將有關平面幾何問題轉化為相應的代數運算和向量運算，從而使問題得到解決.

【命題規律】命題多以解答題為主，屬中等偏難的試題。

　　高二數學向量知識點總結(二)

平面向量

戴氏航天學校老師總結加法與減法的代數運算：

(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )則a b=(x1+x2,y1+y2 ).

向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

戴氏航天學校老師總結向量加法有如下規律：+= +(交換律); +( +c)=( + )+c (結合律);

兩個向量共線的充要條件：

(1) 向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數，使得b= .

(2) 若=(),b=()則‖b .

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，戴氏航天學校老師提醒有且只 有一對實數，，使得= e1+ e2

〖六〗向量函數思想總結

平面向量課件

在現代數學中，平面向量是一種常見且重要的概念。它用于描述平面上的位置關系、運動等數學問題，并在幾何、物理、工程等領域中發揮著重要作用。本篇文章將詳細介紹平面向量的定義、性質以及在數學問題中的應用，并結合生動的實例深入講解。

一、平面向量的定義和表示方法

平面向量可以看作是一個有大小和方向的箭頭，它在平面上由起點和終點確定?？梢酝ㄟ^多種方式來表示平面向量，最常用的表示方法是用兩個點表示。例如，向量AB可以表示為→AB。其中，A稱為向量的起點， B稱為向量的終點，箭頭的方向指向終點B。

二、平面向量的基本運算

1. 平面向量的加法：

對于兩個向量→AB和→CD，可以將它們的起點重合，然后將→CD放在→AB的終點，此時從起點到終點的向量就是兩個向量的和→AD。向量的加法滿足交換律和結合律。

2. 平面向量的減法：

向量的減法等價于向量的加法，只需將減去的向量改變方向即可。例如，→AB - →CD 可以等價為 →AB + ( -1) × →CD，即將→CD取反再加到→AB上。

3. 平面向量的數量乘法：

若k為實數，向量→AB與k相乘，即是將向量的大小變為原來的k倍，方向保持不變。

4. 平面向量的數量乘法的性質：

- k × (→AB + →CD) = k × →AB + k × →CD

- (k + m) × →AB = k × →AB + m × →AB

其中，k、m為實數。

三、平面向量的性質和應用

平面向量有許多重要的性質，下面將介紹幾個常用的性質以及其應用。

1. 平行向量的性質：

若兩個向量→AB和→CD平行，那么存在實數k，使得→CD = k × →AB。這一性質在幾何中經常用于判斷兩條直線是否平行。

2. 垂直向量的性質：

若兩個向量→AB和→CD垂直，那么它們的點積（數量積）為0，即→AB·→CD = 0。這一性質在平面幾何中常用于判斷兩條直線是否垂直。

3. 平面向量的模和單位向量：

向量的模表示向量的大小，可以通過勾股定理求得。單位向量是模等于1的向量，可以通過將向量除以其模得到。

4. 平面向量的點積（數量積）：

兩個向量→AB和→CD的點積（數量積）定義為：→AB·→CD = |→AB| × |→CD| × cosθ，其中θ為兩個向量之間的夾角。點積的性質有交換律和分配律，它在幾何問題中常用于計算角度、判斷共線性等。

通過上述的性質和應用，平面向量可用于解決很多實際問題。例如，在力學中，可以用平面向量描述物體的位移、速度和加速度等；在幾何中，可以利用向量的性質求解直線、平面的交點、判斷共線性等。

四、實例解析

為了更好地理解平面向量的應用，來看一個實例：已知兩個平面向量→AB = 2i + 3j，→AC = 4i - 5j，求向量→AB與向量→AC的夾角。

解析：可以利用向量的點積公式來求解。計算向量→AB和→AC的點積：

→AB·→AC = (2i + 3j)·(4i - 5j) = 8i·i + 12j·i - 10i·j - 15j·j

= 8 + 0 - 10 - 15 = -17

然后，計算兩個向量的模：

|→AB| = √((2^2) + (3^2)) = √(4 + 9) = √13

|→AC| = √((4^2) + (-5^2)) = √(16 + 25) = √41

根據向量的點積的公式，有：

→AB·→AC = |→AB| × |→AC| × cosθ

-17 = √13 × √41 × cosθ

解方程可得：

cosθ = -17 / ( √13 × √41)

利用反余弦函數求得夾角θ：

θ = arccos(-17 / ( √13 × √41))

通過計算，可以得到夾角θ的近似值。

通過這個實例，可以看到平面向量在解決幾何問題中的應用。通過計算模和夾角，能夠得到向量之間的關系，進而解決實際問題。

平面向量是現代數學中的一個重要概念，它可以用于描述平面上的位置關系、運動等數學問題。本篇文章詳細介紹了平面向量的定義和表示方法，以及平面向量的基本運算和性質。通過生動的實例和具體的分析，能夠更好地理解平面向量的應用，并在實際問題中加以運用。希望通過本篇文章的學習，讀者能夠對平面向量有更深入的了解，為數學學習打下堅實的基礎。

〖七〗向量函數思想總結

（2）能力目標：

通過對平面向量數量積定義的剖析，培養學生分析問題發現問題能力，使學生的思維能力得到訓練。

（3）情感目標：

通過本節課的學習，激發學生學習數學的興趣，體會學習的快樂。

4、教學難點：平面向量的數量積定義及平面向量數量積的運用。

采用啟發引導式與講練相結合，并借助多媒體教學手段，使學生理解平面向量數量積的定義，理解定義之后引導學生推導數量積的性質，通過例題和練習加深學生對平面向量數量積定義的認識，初步掌握平面向量數量積定義的運用。

〖八〗向量函數思想總結

考點一：向量的概念、向量的基本定理

【內容解讀】了解向量的實際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、單位向量、相等向量等概念，理解向量的幾何表示，掌握平面向量的基本定理。

注意對向量概念的理解，向量是可以自由移動的，平移后所得向量與原向量相同;兩個向量無法比較大小，它們的?？杀容^大小。

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考點二：向量的運算

【內容解讀】向量的運算要求掌握向量的加減法運算，會用平行四邊形法則、三角形法則進行向量的加減運算;掌握實數與向量的積運算，理解兩個向量共線的含義，會判斷兩個向量的平行關系;掌握向量的數量積的運算，體會平面向量的數量積與向量投影的關系，并理解其幾何意義，掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量積的運算，能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用向量積判斷兩個平面向量的垂直關系。

【命題規律】命題形式主要以選擇、填空題型出現，難度不大，考查重點為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的`坐標運算，有時也會與其它內容相結合。

考點三：定比分點

【內容解讀】掌握線段的定比分點和中點坐標公式，并能熟練應用，求點分有向線段所成比時，可借助圖形來幫助理解。

【命題規律】重點考查定義和公式，主要以選擇題或填空題型出現，難度一般。由于向量應用的廣泛性，經常也會與三角函數，解析幾何一并考查，若出現在解答題中，難度以中檔題為主，偶爾也以難度略高的題目。

考點四：向量與三角函數的綜合問題

【內容解讀】向量與三角函數的綜合問題是高考經常出現的問題，考查了向量的知識，三角函數的知識，達到了高考中試題的覆蓋面的要求。

【命題規律】命題以三角函數作為坐標，以向量的坐標運算或向量與解三角形的內容相結合，也有向量與三角函數圖象平移結合的問題，屬中檔偏易題。

考點五：平面向量與函數問題的交匯

【內容解讀】平面向量與函數交匯的問題，主要是向量與二次函數結合的問題為主，要注意自變量的取值范圍。

【命題規律】命題多以解答題為主，屬中檔題。

考點六：平面向量在平面幾何中的應用

【內容解讀】向量的坐標表示實際上就是向量的代數表示.在引入向量的坐標表示后，使向量之間的運算代數化，這樣就可以將“形”和“數”緊密地結合在一起.因此，許多平面幾何問題中較難解決的問題，都可以轉化為大家熟悉的代數運算的論證.也就是把平面幾何圖形放到適當的坐標系中，賦予幾何圖形有關點與平面向量具體的坐標，這樣將有關平面幾何問題轉化為相應的代數運算和向量運算，從而使問題得到解決.

【命題規律】命題多以解答題為主，屬中等偏難的試題。

高二數學向量公式

1.單位向量：單位向量a0=向量a/|向量a|

2.P(x,y)那么向量OP=x向量i+y向量j

|向量OP|=根號（x平方+y平方）

3.P1(x1,y1)P2(x2,y2)

那么向量P1P2=｛x2-x1,y2-y1｝

|向量P1P2|=根號[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]

4.向量a=｛x1,x2｝向量b=｛x2,y2｝

向量a*向量b=|向量a|*|向量b|*Cosα=x1x2+y1y2

Cosα=向量a*向量b/|向量a|*|向量b|

(x1x2+y1y2)

根號(x

5.空間向量：同上推論

（提示：向量a=｛x,y,z｝）

6.充要條件：

如果向量a⊥向量b

那么向量a*向量b=0

如果向量a//向量b

那么向量a*向量b=±|向量a|*|向量b|

或者x1/x2=y1/y2

7.|向量a±向量b|平方

=|向量a|平方+|向量b|平方±2向量a*向量b

=(向量a±向量b)平方

〖九〗向量函數思想總結

解析：由x2－3x－4＝0，得x1＝4，x2＝－1.

2．今有一組實驗數據如下表所示：

解析：把t＝1.99，t＝3.0代入A、B、C、D驗證易知，C最近似．

3．儲油30 m3的油桶，每分鐘流出34 m3的油，則桶內剩余油量Q(m3)以流出時間t(分)為自變量的函數的定義域為 ()

A．[0，＋) B．[0，452]

C．(－，40] D．[0,40]

解析：由題意知Q＝30－34t，又030，即0 30－34t30，040.

4．由于技術的提高，某產品的成本不斷降低，若每隔3年該產品的價格降低13，現在價格為8 100元的.產品，則9年后價格降為 ()

解析：由題意得8 100(1－13)3＝2 400.

解析：f(－1)＝2－1＋3(－1)＝12－3＝－520，

f(0)＝20＋30＝10.

∵y＝2x，y＝3x均為單調增函數，

6．若函數y＝f(x)是偶函數，其定義域為{x|x0}，且函數f(x)在(0，＋)上是減函數，f(2)＝0，則函數f(x)的零點有 ()

解析：根據偶函數的單調性和對稱性，函數f(x)在(0，＋)上有且僅有一個零點，則在(－，0)上也僅有一個零點．

7．函數f(x)＝x2＋2x－3，x0，－2＋lnx，x0的零點個數為 ()

解析：由f(x)＝0，得x0，x2＋2x－3＝0或x0，－2＋lnx＝0，

解之可得x＝－3或x＝e2，

8．某地固定電話市話收費規定：前三分鐘0.20元(不滿三分鐘按三分鐘計算)，以后每加一分鐘增收0.10元 (不滿一分鐘按一分鐘計算)，那么某人打市話550秒，應支付電話費

解析：y＝0.2＋0.1([x]－3)，([x]是大于x的最小整數，x0)，令x＝55060，故[x]＝10，則y＝0.9.

9．若函數f(x)的零點與g(x)＝4x＋2x－2的零點之差的絕對值不超過0.25，則f(x)可以是 ()

解析：令g(x)＝0，則4x＝－2x＋2.畫出函數y1＝4x和函數y2＝－2x＋2的圖像如圖，可知g(x)的零點在區間(0,0.5)上，選項A的零點為0.25，選項B的零點為1，選項C的零點為0，選項D的零點大于1，故排除B、C、D.

10．在股票買賣過程中，經常用兩種曲線來描述價格變化情況：一種是即時價格曲線y＝f(x)，另一種是平均價格曲線y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票開始買賣后2小時的即時價格為3元；g(2)＝3表示2小時內的平均價格為3元，下面給出了四個圖像，實線表示y＝f(x )，虛線表示y＝g(x)，其中可能正確的是 ()

解析：A選項中即時價格越來越小時，而平均價格在增加，故不對，而B選項中即時價格在下降，而平均價格不變化，不正確．D選項中平均價格不可能越來越高，排除D.

11．用二分法求方程x3－2x－5＝0在區間[2,3]內的實根，取區間中點x0＝2.5，那么下一個有根區間是________．

f(2)＝－10，f(3)＝160，f(2.5)＝5.6250，

∵f(2)f(2.5)0，

下一個有根區間是(2,2.5)．

12．已知mR時，函數f(x)＝m(x2－1)＋x－a恒有零點，則實數a的取值范圍是________．

由f(x)＝x－a＝0，

得x＝a，此時aR.

(2)當m0時，令f(x)＝0，

即mx2＋x－m－a＝0恒有解，

1＝1－4m(－m－a)0恒成立，

即4m2＋4am＋1 0恒成立，

則2＝(4a)2－440，

即－11.

所以對mR，函數f(x)恒有零點，有a[－1 ,1]．

13．已知A，B兩地相距150 km，某人開汽車以60 km/h的速 度從A地到達B地，在B地停留1小時后再以50 km/h的速度返回A地，汽車離開A地的距離x隨時間t變化的關系式是________．

解析：從A地到B地，以60 km/h勻速行駛，x＝60t，耗時2.5個小時，停留一小時，x不變．從B地返回A地，勻速行駛，速度為50 km/h，耗時3小時，故x＝150－50(t－3.5)＝－50t＋325

所以x＝60t，02.5，150， 2.53.5，－50t＋325， 3.56.5.

答案 ：x＝60t，02.5150， 2.53.5－50t＋325 3.56.5

〖十〗向量函數思想總結

今天在高一幻師（1）班，聽了倪**上的一節《7.1.2向量的加法》的數學公開課，聽完感想頗多。下面就我個人談談對倪玲玲老師這節課的看法不成熟看法，如有不妥的地方請大家多多諒解。

一、從教學基本功來看，倪老師雖然是一個教齡未滿三年的新教師，但她的教學基本功是非常扎實的。教學中，倪教師的語言生動準確，板書工整規范，課堂調控能力強，教學富有條理，PPT課件做的漂亮，演示過程有條有理。

二、從教材處理來看，倪老師對于教材的處理還欠缺火候，不敢大膽嘗試教學改革，這可能是新教師的通病。我們中職的學生數學基礎普遍差，所以我們教師備教案時要從學生的學情來考慮，最好把學生當做什么都不懂的學生來教。事實上，我們中職學生沒有幾個數學基礎好的，很多學生會因為一節或兩節課聽不懂數學課，而喪失了對數學學習的興趣。倪老師的這節課，從引入看，設置的情境問題起點比較高，問的是“船從碼頭出發，先向東行駛20公里，再向北行駛20公里，請問船的位置在哪？”。這個問題跟后面的講解的例題內容大致相同，結果倪老師一提問，所有學生都蒙住了，課堂一下沉悶下來，還好倪老師教學機智比較好，馬上轉移話題打破冷場，從另一個角度作引導。在講解向量加法的三角形法則時，倪老師一再強調三角形加法法則要注意“首尾相接首尾連”，但還是沒有把向量相加的方向指向講清楚，確切的說“兩個向量連接相加，它的方向由向量最初的起點指向向量最后的終點”。另外，在講解兩個向量求和作圖之前，最好能把向量相等的定義事先復習下，這樣可以這個內容的學習作鋪墊。

三、從課堂的動態生成來看，這節課的師生互動性不強，課堂問題形式單一。課堂問題大都采用教師提問，學生群答形式，不利于開發學生學習的潛力與發覺學生學習中存在哪些問題。如果課堂中，能穿插個別提問或其它形式的教學方式，可能對活躍課堂氛圍會更好，課堂教學可能會更有效。

四、從教學評價機制來看，這節課還缺少對學生的評價性語言。對學生來說，教師的一個中肯的評價，都是對學生的鼓勵。現代的教學要求我們，每上一節課都要讓不同層次的'學生都能學有所得，體驗成功的喜悅。對于這方面，我們可能都不夠重視，今后要多改觀。

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